¿Qué es una serie de Taylor y como se define?
A medida que aumenta el grado del polinomio de Mac Laurin,
se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x),
centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma
de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación
de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de
polinomios como ( x-a )^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula
a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a
suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja
la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a=0, se le denomina
serie de McLaurin.
Definición
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x)
infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la
siguiente serie de potencias:
f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots
Que puede ser escrito de una manera más compacta como la
siguiente suma:
\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,
Donde:
n! es el factorial de n
f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a
de la variable respecto de la cual se deriva.
La derivada de orden cero de f es definida como la propia
f y tanto (x − a)0 como 0! son ambos definidos como 1 (0! = 1). En caso de ser
a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de MacLaurin.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias
centrada en a de la forma \sum^{}_{}a_n(x-
a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z=x-a
(con lo que x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como
\sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable.
Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f(x)=x\ln x alrededor de a = 1
se puede tomar z=x-1, de manera que se desarrollaría f(z+1)=(z+1)\ln(z+1)
centrada en 0.
El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de
sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por
considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón.
Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja,
pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron
Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de
Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas
podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu
Hui utilizó un método similar cientos de años después.2
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series
de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3 A
pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años,
escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número
de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las
funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arco tangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta
área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma
general para construir estas series para todas las funciones para las que
existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.
Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin
Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las
series de Taylor en el siglo XVIII.
Función analítica
Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente
al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se
llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar
una estimación del resto del teorema de Taylor.
Una función es analítica si y solo si se puede
representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son
necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Se suele aproximar una función mediante un número finito
de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación
cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor
al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una
función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite
del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la
serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función
igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano
complejo) se denomina función analítica..
Series de Maclaurin (Taylor alrededor del número 0) notables
La función coseno.
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en
el plano de los complejos.
Las dos imágenes superiores unidas.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de
funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores
complejos de x.
¿Cómo funciona para un truncamiento?
La serie de Taylor provee un medio
para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la
función y sus derivadas en otro punto.
Teorema de Taylor: Si la
función f y sus
primeras n+1 derivadas
son continuas en un intervalo que contiene a a y a x,
entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La
expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta
para un polinomio de n-ésimo orden.
Para
otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o
sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de
términos.
El valor
práctico de las series de Taylor radica
en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo
suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos
términos se requieren para obtener una “aproximación
razonable”?
La
ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa
que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño
del paso h elevado a
la (n+1)-ésima potencia.
Ejemplo: Si el
error es O(h) y se reduce a la mitad del
paso, entonces el error se reduce a la mitad. Si el error esO(h2) el error se reducirá a la cuarta parte.
Error de Propagación:
Supóngase
que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el
efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.
Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:
Estabilidad y Condición:
La
condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en
los datos de entrada.
Un
cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de
entrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Usando
la serie de Taylor de
primer orden:
Estimando
el error relativo de f(x) como en:
El error
relativo de x está
dado por:
Un número
condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:
Número Condicionado:
El número
condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre
de x es aumentada
por f(x):
- Un
valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al
valor relativo de x.
- Un
valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.
- Un
valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.
Funciones
con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.
El error
numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo.
Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de
cifras significativas de la computadora.
El error
de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores
de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.
No hay
forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los
problemas. La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero.
- Evitar
la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el
problema.
- Aritmética
de precisión extendida.
- Clasificarlos
y trabajar primero con los números más pequeños.
Para
predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor.
Por
último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de
paso y comparando los resultados.
Objetivo
Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones
diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona
la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados).
Esto es, si la
solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se
tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también
entregará dicha so-lución en forma cerrada.
Por lo tanto, en el
caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más
cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja
con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la
sumatoria siempre es un poco confuso para ellos.
Sin embargo ambos métodos son en esencia los mismos.
Veamos en que
consiste cada método.
Ya que no
hay funciones elementales
para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la
solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con
alguna aproximación numérica.
Apliquemos
inicialmente el método de Taylor.
Cuadro de ventajas y desventajas de su uso.
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Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
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|
La derivación e integración de una de estas series se
puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales; se
puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones; es posible
calcular la optimidad de la aproximación.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de
Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede
conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase
Serie de Laurent).
Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como
serie de Laurent.
|
|
¿Qué tipo de funciones se aplican a este método?
Ejemplos.
Reemplazando
(1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos
Según el
autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales
de los coeficientes de la serie utilizando el método de los coeficientes
indetermina-dos, que utilizando el método de las series de Taylor. En
consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los
coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de
Taylor.
Pero si
seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de
Taylor, tenemos
Se
observa la siguiente ley de
formación:
Nuevamente
se obtiene la solución encontrada por series de potencias:
En conclusión, el
ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones,
no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se adapta
fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más
adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación
diferencial sin condiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones
que el método de las series de potencias.
Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario
Las ecuaciones
diferenciales homogéneas lineales de segundo orden de la forma
La
solución de esas ecuaciones, en general, no pueden expresarse en términos de
funciones elementales familiares. Por lo cual utilizaremos los polinomios de
Taylor.
Definición (punto ordinario)
Necesitaremos
el próximo teorema.
Teorema (existencia de soluciones en series de
Taylor)
Incluso la ecuación
de Legendre (2) ,
la ecuación de Ayry (3), la ecuación
de Chebyshev (3), y
la ecuación de Hermite (5 ).
En el ejemplo siguiente se dará la solución en series de
Taylor para la ecuación (6), la cual la haremos, sin pérdida de generalidad
para el caso
El ejemplo resultará ilustrativo, ya que mostrará como
trabajar en todos los casos.
Ejemplo 2. Encuentre
la serie de potencias en x para la solución general de
Solución:
Buscamos la solución general de la forma
Al
derivar la ecuación (2.1) implícitamente con respecto a x, se obtiene:
Luego se
encuentra que
Ejemplo
3. Encuentre
la serie en series de potencias en x para la solución general de
Solución:
Ahora
determinemos los coeficientes de las potencias impares de x:
A partir
de (8) y (9) vemos que
El siguiente ejemplo muestra que, en muchos casos hay que
conformarnos con encontrar un número finito de términos, ya que no se tiene una
formula cerrada para los coeficientes
de las soluciones en
series de potencia.
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