MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN

I.1. INTRODUCCIÓN

Es frecuente la necesidad de buscar funciones apropiadas a partir de datos que proceden de una población en la que se ha realizado un registro de informaciones o estudio estadístico, para que cumplan determinadas condiciones que nos interesen, como que sean continuas, derivables, etc. Con este objetivo trataremos de plantear distintos procedimientos para realizar la búsqueda de estas funciones, bien buscando una función que pase exactamente por una serie de puntos (función de interpolación) o bien que esa función elegida por nosotros se adapte lo mejor posible a una serie o a una nube de puntos (función de ajuste o regresión).

La finalidad del cálculo de las funciones de interpolación se centra en la necesidad de obtener valores intermedios (INTERPOLACIÓN) o de valores fuera del intervalo para el que se dispone de datos (EXTRAPOLACIÓN).

I.2. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN

Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en un punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose únicamente una serie de puntos. La resolución aproximada del problema consiste en encontrar una función fácil de construir y de evaluar, que coincide con la función objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la función así construida interpola a la función dada con respecto a los datos. 

Se trata de determinar fundamentalmente dos cosas: 

1. Los datos  que se desea que sean comunes a la función desconocida y a la función interpoladora. 

2. Que tipo de función se va a utilizar como función interpoladora o función de interpolación. 

I.2.1. Interpolación polinómica.

Se puede plantear como ejemplo lo siguiente: Sea f una función de una variable cuyo valor se conoce en n + 1 puntos: , llamaremos:

y se desea calcular su valor aproximado para una valor cualquiera de x.

La literatura matemática clásica, utiliza una función interpoladora de tipo polinómico de grado no mayor que n, siendo n el número de puntos conocidos menos uno.

I.2.1.1. Método matricial

Así, dada una función  , de la que se conocen en n+1 puntos   . Se trata de buscar un polinomio  de grado n que pase por los puntos  de forma que:

las condiciones impuestas determinan que los coeficientes deben verificar: 

para i = 0,1,....., n

la existencia y unicidad del sistema depende del determinante de Vandermonde siguiente:

que desarrollándolo, obtenemos: 

si los  son distintos, se tendrá   con lo que el sistema tendrá solución única. 

Expresándolo en forma matricial: 

  e     

 , por tanto, despejando 

Ejemplo: 

Construir el polinomio interpolador que pase por los puntos:  

construyendo la matriz: 

y el vector de ordenadas:   

 se comprueba que:

siendo su inversa:

Por tanto:

  obteniéndose el polinomio interpolador: 

Ahora bien, para obtener los polinomios de interpolación existen otros métodos, como los siguientes:

- Polinomios de Lagrange

- Polinomios de Interpolación parabólica progresiva.

- Polinomios de Newton.

- Polinomios de Gauss.

I.2.1.2. Métodos de Interpolación parabólica progresiva: 

El método de Interpolación parabólica progresiva es recurrente y se basa en la idea de utilizar la interpolación introduciendo progresivamente dos, tres, cuatro puntos, etc. Esto es: 

donde:

Ejemplo:

Construir el polinomio interpolador por el método de Interpolación parabólica progresiva, que pase por los puntos:  

Se construyen los polinomios introduciendo progresivamente los puntos, de la siguiente manera:

  -  En primer lugar se calcula la recta que pasa por los puntos:

- A continuación se construye una parábola cuadrática que pase por los puntos: 

siendo:

y sustituyendo:

 

- Y finalmente la parábola cúbica que pasa por los cuatro puntos:

siendo:

 

sustituyendo: 

obteniéndose el polinomio interpolador para los cuatro puntos: 

I.2.1.3. Polinomios de Lagrange.

Se trata de construir un polinomio de grado n, que se anule en los puntos (que pase por los puntos):   salvo en uno   en el que valdrá 1. 

Dicho polinomio será de la forma:   siendo “a” un número real cualquiera.

Para   se tendrá  , lo que determina el valor de “a”, por tanto: 

Así, el polinomio que buscamos será de la forma: 

y para que el polinomio interpolador de grado n, que buscamos, tome los valores y₀, y₁, ... , y_n en los puntos x₀,x₁, ... , x_n, es suficiente con que se verifique:

si los valores Y_k proceden de una función f, en los puntos X_k, se tendrá: 

llamándose dicha expresión fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación y a los l_k polinomios de Lagrange.

Ejemplo: 

Construir el polinomio interpolador por el método de Lagrange, que pase por los puntos:

siendo el polinomio interpolador: 

Así mismo:

y

por tanto:

Por ello, introduciendo los datos:

 

Se obtienen finalmente el polinomio interpolador: 

I.2.1.4. Fórmula de Newton para el polinomio de interpolación

Sea   el polinomio que interpola a f(x) en los puntos  , y   el polinomio que interpola a  f(x)  en  . La diferencia entre ambos es un polinomio de grado no mayor que n, que se anula para  , ya que en dichos puntos  , y en consecuencia: 

obteniéndose:

  

dando a  x  el valor  , por ser  , se tiene: 

   

como  se puede llamar  , construyéndose a partir de la fórmula anterior  . Obtenemos, por tanto, la expresión del polinomio de interpolación siguiente: 

  

Por convenio se llama diferencia dividida a la expresión: 

siendo:

La Fórmula de Newton, por tanto, sería:

que recibe el nombre de fórmula de Newton del polinomio de interpolación.

El cálculo de las diferencias divididas se realizaría así: 

por simetría:

Por tanto, tendríamos las diferencias divididas siguientes:

Ejemplo:

 Construir el polinomio interpolador por el método de Newton, que pase por los puntos:  

  

siendo el polinomio interpolador:

que en nuestro caso será: 

Obtenemos las diferencias divididas  : 

Por tanto, el polinomio interpolador sería: 

 

Finalmente: 

I.2.1.5. Fórmula de Gauss para el polinomio de interpolación usando diferencias finitas:

Para definir las diferencias finitas, consideramos una función f(x) de una sucesión de valores de x equidistantes entre sí, esto es: donde  . 

siendo:

Se llama diferencia progresiva de f(x) en a: 

  

la segunda diferencia progresiva, será: 

 

en general:

que se llama diferencia progresiva de orden n 

Así, se puede construir una tabla con las diferencias progresivas de órdenes sucesivos de la forma siguiente:

El polinomio de interpolación usando diferencias finitas sería: 

que reciben el nombre de fórmulas de Newton progresivas. 

Ejemplo: 

Construir el polinomio interpolador por el método de Newton con diferencias progresivas de f(x), que pase por los puntos:siendo el polinomio interpolador:

en el problema,  siendo el  polinomio de interpolación:  

Calculando las diferencias progresivas:

sustituyendo tenemos: 

y operando se obtiene el polinomio: 

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