Serie de Taylor

¿Qué es una serie de Taylor y como se define?

A medida que aumenta el grado del polinomio de Mac Laurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como ( x-a )^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a=0, se le denomina serie de McLaurin.

Definición

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

Que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

Donde:

n! es el factorial de n

f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como 0! son ambos definidos como 1 (0! = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de MacLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma \sum^{}_{}a_n(x-

a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z=x-a (con lo que x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como \sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z=x-1, de manera que se desarrollaría f(z+1)=(z+1)\ln(z+1) centrada en 0.

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arco tangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Función analítica

Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica..

Series de Maclaurin (Taylor alrededor del número 0) notables

La función coseno.

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

Las dos imágenes superiores unidas.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

¿Cómo funciona para un truncamiento?

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hⁿ⁺¹. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

Ejemplo: Si el error es O(h) y se reduce a la mitad del paso, entonces el error se reduce a la mitad. Si el error esO(h²) el error se reducirá a la cuarta parte.

Error de Propagación:

Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición:

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.

Usando la serie de Taylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:

Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):

• Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.

• Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.

• Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.

El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora.

El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.

No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas. La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero.

• Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema.

• Aritmética de precisión extendida.

• Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor.

Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.

Objetivo

Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados).

Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada.

Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos.

Sin embargo ambos métodos son en esencia los mismos.

Veamos en que consiste cada método.

Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.

Apliquemos inicialmente el método de Taylor.

Cuadro de ventajas y desventajas de su uso.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales; se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones; es posible calcular la optimidad de la aproximación. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

¿Qué tipo de funciones se aplican a este método?

Ejemplos.

Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos

Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando el método de las series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor.

Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor, tenemos

Se observa la siguiente ley de formación:

Nuevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias:

En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias.

Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario

Las ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden de la forma

La solución de esas ecuaciones, en general, no pueden expresarse en términos de funciones elementales familiares. Por lo cual utilizaremos los polinomios de Taylor.

Definición (punto ordinario)

Necesitaremos el próximo teorema.

Teorema (existencia de soluciones en series de Taylor)

Incluso la ecuación de Legendre (2) , la ecuación de Ayry (3), la ecuación de Chebyshev (3), y la ecuación de Hermite (5 ).

En el ejemplo siguiente se dará la solución en series de Taylor para la ecuación (6), la cual la haremos, sin pérdida de generalidad para el caso

El ejemplo resultará ilustrativo, ya que mostrará como trabajar en todos los casos.

Ejemplo 2. Encuentre la serie de potencias en x para la solución general de

Solución:

Buscamos la solución general de la forma

Al derivar la ecuación (2.1) implícitamente con respecto a x, se obtiene:

Luego se encuentra que

Ejemplo 3. Encuentre la serie en series de potencias en x para la solución general de

Solución:

Ahora determinemos los coeficientes de las potencias impares de x:

A partir de (8) y (9) vemos que

El siguiente ejemplo muestra que, en muchos casos hay que conformarnos con encontrar un número finito de términos, ya que no se tiene una formula cerrada para los coeficientes

de las soluciones en series de potencia.

Bibliografía
http://www.monografias.com/trabajos91/metodo-series-taylor-resolver-ecuaciones/metodo-series-taylor-resolver-ecuaciones.shtml#ixzz3XRDorIIW

MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN

I.1. INTRODUCCIÓN

Es frecuente la necesidad de buscar funciones apropiadas a partir de datos que proceden de una población en la que se ha realizado un registro de informaciones o estudio estadístico, para que cumplan determinadas condiciones que nos interesen, como que sean continuas, derivables, etc. Con este objetivo trataremos de plantear distintos procedimientos para realizar la búsqueda de estas funciones, bien buscando una función que pase exactamente por una serie de puntos (función de interpolación) o bien que esa función elegida por nosotros se adapte lo mejor posible a una serie o a una nube de puntos (función de ajuste o regresión).

La finalidad del cálculo de las funciones de interpolación se centra en la necesidad de obtener valores intermedios (INTERPOLACIÓN) o de valores fuera del intervalo para el que se dispone de datos (EXTRAPOLACIÓN).

I.2. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN

Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en un punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose únicamente una serie de puntos. La resolución aproximada del problema consiste en encontrar una función fácil de construir y de evaluar, que coincide con la función objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la función así construida interpola a la función dada con respecto a los datos. 

Se trata de determinar fundamentalmente dos cosas: 

1. Los datos  que se desea que sean comunes a la función desconocida y a la función interpoladora. 

2. Que tipo de función se va a utilizar como función interpoladora o función de interpolación. 

I.2.1. Interpolación polinómica.

Se puede plantear como ejemplo lo siguiente: Sea f una función de una variable cuyo valor se conoce en n + 1 puntos: , llamaremos:

y se desea calcular su valor aproximado para una valor cualquiera de x.

La literatura matemática clásica, utiliza una función interpoladora de tipo polinómico de grado no mayor que n, siendo n el número de puntos conocidos menos uno.

I.2.1.1. Método matricial

Así, dada una función  , de la que se conocen en n+1 puntos   . Se trata de buscar un polinomio  de grado n que pase por los puntos  de forma que:

las condiciones impuestas determinan que los coeficientes deben verificar: 

para i = 0,1,....., n

la existencia y unicidad del sistema depende del determinante de Vandermonde siguiente:

que desarrollándolo, obtenemos: 

si los  son distintos, se tendrá   con lo que el sistema tendrá solución única. 

Expresándolo en forma matricial: 

  e     

 , por tanto, despejando 

Ejemplo: 

Construir el polinomio interpolador que pase por los puntos:  

construyendo la matriz: 

y el vector de ordenadas:   

 se comprueba que:

siendo su inversa:

Por tanto:

  obteniéndose el polinomio interpolador: 

Ahora bien, para obtener los polinomios de interpolación existen otros métodos, como los siguientes:

- Polinomios de Lagrange

- Polinomios de Interpolación parabólica progresiva.

- Polinomios de Newton.

- Polinomios de Gauss.

I.2.1.2. Métodos de Interpolación parabólica progresiva: 

El método de Interpolación parabólica progresiva es recurrente y se basa en la idea de utilizar la interpolación introduciendo progresivamente dos, tres, cuatro puntos, etc. Esto es: 

donde:

Ejemplo:

Construir el polinomio interpolador por el método de Interpolación parabólica progresiva, que pase por los puntos:  

Se construyen los polinomios introduciendo progresivamente los puntos, de la siguiente manera:

  -  En primer lugar se calcula la recta que pasa por los puntos:

- A continuación se construye una parábola cuadrática que pase por los puntos: 

siendo:

y sustituyendo:

 

- Y finalmente la parábola cúbica que pasa por los cuatro puntos:

siendo:

 

sustituyendo: 

obteniéndose el polinomio interpolador para los cuatro puntos: 

I.2.1.3. Polinomios de Lagrange.

Se trata de construir un polinomio de grado n, que se anule en los puntos (que pase por los puntos):   salvo en uno   en el que valdrá 1. 

Dicho polinomio será de la forma:   siendo “a” un número real cualquiera.

Para   se tendrá  , lo que determina el valor de “a”, por tanto: 

Así, el polinomio que buscamos será de la forma: 

y para que el polinomio interpolador de grado n, que buscamos, tome los valores y₀, y₁, ... , y_n en los puntos x₀,x₁, ... , x_n, es suficiente con que se verifique:

si los valores Y_k proceden de una función f, en los puntos X_k, se tendrá: 

llamándose dicha expresión fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación y a los l_k polinomios de Lagrange.

Ejemplo: 

Construir el polinomio interpolador por el método de Lagrange, que pase por los puntos:

siendo el polinomio interpolador: 

Así mismo:

y

por tanto:

Por ello, introduciendo los datos:

 

Se obtienen finalmente el polinomio interpolador: 

I.2.1.4. Fórmula de Newton para el polinomio de interpolación

Sea   el polinomio que interpola a f(x) en los puntos  , y   el polinomio que interpola a  f(x)  en  . La diferencia entre ambos es un polinomio de grado no mayor que n, que se anula para  , ya que en dichos puntos  , y en consecuencia: 

obteniéndose:

  

dando a  x  el valor  , por ser  , se tiene: 

   

como  se puede llamar  , construyéndose a partir de la fórmula anterior  . Obtenemos, por tanto, la expresión del polinomio de interpolación siguiente: 

  

Por convenio se llama diferencia dividida a la expresión: 

siendo:

La Fórmula de Newton, por tanto, sería:

que recibe el nombre de fórmula de Newton del polinomio de interpolación.

El cálculo de las diferencias divididas se realizaría así: 

por simetría:

Por tanto, tendríamos las diferencias divididas siguientes:

Ejemplo:

 Construir el polinomio interpolador por el método de Newton, que pase por los puntos:  

  

siendo el polinomio interpolador:

que en nuestro caso será: 

Obtenemos las diferencias divididas  : 

Por tanto, el polinomio interpolador sería: 

 

Finalmente: 

I.2.1.5. Fórmula de Gauss para el polinomio de interpolación usando diferencias finitas:

Para definir las diferencias finitas, consideramos una función f(x) de una sucesión de valores de x equidistantes entre sí, esto es: donde  . 

siendo:

Se llama diferencia progresiva de f(x) en a: 

  

la segunda diferencia progresiva, será: 

 

en general:

que se llama diferencia progresiva de orden n 

Así, se puede construir una tabla con las diferencias progresivas de órdenes sucesivos de la forma siguiente:

El polinomio de interpolación usando diferencias finitas sería: 

que reciben el nombre de fórmulas de Newton progresivas. 

Ejemplo: 

Construir el polinomio interpolador por el método de Newton con diferencias progresivas de f(x), que pase por los puntos:siendo el polinomio interpolador:

en el problema,  siendo el  polinomio de interpolación:  

Calculando las diferencias progresivas:

sustituyendo tenemos: 

y operando se obtiene el polinomio: 

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