Este método parte de una aproximación inicial x0 y
obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie
de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y
sea x una aproximación a r tal que r=x+h.
Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:
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0 = f(r) = f(x+h) = f(x)
+ hf'(x) + O(h2)
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(30)
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en donde h=r-x. Si x está
próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable
ignorar el término O(h2):
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0 = f(x) + hf'(x)
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(31)
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por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:
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Figure: Interpretación geométrica del método de Newton.
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[scale=0.9]eps/new-1
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El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, como
se puede apreciar del análisis de la figura (6). De hecho, el método de Newton consiste en una linealización de
la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que
contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya
pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0).
La nueva aproximación a la raíz, x1, se obtiene de la
intersección de la función linear con el eje Xde ordenadas.
Veamos como podemos obtener la ecuación (29) a partir de lo dicho en el párrafo anterior. La ecuación
de la recta que pasa por el punto (x0,f(x0))
y de pendiente f'(x0) es:
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y - f(x0)
= f'(x0)(x-x0)
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(33)
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de donde, haciendo y=0 y despejando x obtenemos
la ecuación de Newton-Raphson (29).
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Figure: Dos situaciones en las que el método de Newton no funciona
adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el método
converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.
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[scale=0.9]eps/new-2
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El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es
de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada
iteración). Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que
adopta la función en las proximidades del punto de iteración. En la figura (7) se muestran dos situaciones en las que este método no es
capaz de alcanzar la convergencia (figura (7a)) o bien converge hacia un punto que no es un cero de la
ecuación
Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de
Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la
raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de
la curva. por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa
una aproximación mehorada de la raíz.
El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación
geométrica.
De la figura se tiene que la primer derivada en x es equivalente a la
pendiente:
Que se reordena para obtener:
La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson.
Un algoritmo para el método de Newton-Raphson es como
los anteriores, pero debe modificarse para calcular la primera derivada. Esto
se logra incluyendo simplemente una función definida por el usuario.
Además, a la luz del análisis anterior sobre los problemas potenciales del método de Newton-Raphson, el programa se podría mejorar incorporando algunas consideraciones adicionales:
1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa.
2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de Error, mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.
3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma interminable.
4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que f'(x) sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo.
Además, a la luz del análisis anterior sobre los problemas potenciales del método de Newton-Raphson, el programa se podría mejorar incorporando algunas consideraciones adicionales:
1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa.
2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de Error, mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.
3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma interminable.
4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que f'(x) sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo.
Ejercicios resueltos
En los ejercicios1y2, utilice el método de Newton para calcular la raíz real de la ecuaciónque se indica
(con cuatro cifras decimales). En los ejercicios3y4, use el método de Newton para determinar, redondeando a milésimos, el
valor aproximado de la raíz que se indica. Enlos ejercicios5y6, determine el
valor del radical que se da con cinco cifras decimales. En elejercicio7, utilice el
método de Newton para calcular, con cuatro cifras decimales, la coordenada
X del punto de
intersección en el primer cuadrante de las gráficas de las dos ecuaciones.
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